Hallo!

Wir nehmen in der Schule (LK 11) gerade die Monotonie durch. In meinem Buch 
ist der Monotoniesatz so definiert:

"Ist eine differenzierbare Funktion f auf einem Intervall A streng monoton 
steigend, dann gilt fr alle x e A f'(x)>=0."

Meine Frage wre, ob diese Definition fr abschnittsweise definierte 
Funktionen gilt. Denn wenn die angelegte Tangente die Steigung Null hat, 
gibt es meines Wissens nach zwei Mglichkeiten: entweder, alle aufeinander 
folgenden Stellen haben denselben Funktionswert, also z.B. geraden mit m=0 
(deshalb die Frage nach den abschnittsweise definierten Funktionen) oder, es 
liegt ein Sattelpunkt vor (das ist bei nicht abschnittsweise definierten 
funtionen wie f(x)=x^3 der Fall).

Vielen Dank im Voraus!

Gru
Alexander

> Wir nehmen in der Schule (LK 11) gerade die Monotonie durch. In meinem 
> Buch ist der Monotoniesatz so definiert:
>
> "Ist eine differenzierbare Funktion f auf einem Intervall A streng monoton 
> steigend, dann gilt fr alle x e A f'(x)>=0."
>
> Meine Frage wre, ob diese Definition fr abschnittsweise definierte 
> Funktionen gilt.


Das ist *keine* Defintion von strenger Monotonie. Wie Du selbst erkannt 
hast, gilt fr die Funktion y=0 sehr wohl f'(x)>=0, aber sie ist nicht 
str.m.steigend.
Der Satz oben ist eine Aussage "Wenn a, dann b". Wenn b erfllt ist, muss a 
nicht unbedingt stimmen.

Um die Frage zu beantworten: Der Satz gilt auch fr abschnittsweise 
definierte Funktionen, solange die "Nahtstellen" auch differenzierbar sind 
(sonst macht die Aussage keinen Sinn). Ein Beispiel fr sowas wre:
f(x) = x^2 fuer x>=0, f(x)=-x^2 fuer x<0

Gruss Michael

Am Thu, 28 Apr 2005 17:14:39 +0200 schrieb Alexander Erlich:


> Hallo!
> 
> Wir nehmen in der Schule (LK 11) gerade die Monotonie durch. In meinem Buch 
> ist der Monotoniesatz so definiert:
> 
> "Ist eine differenzierbare Funktion f auf einem Intervall A streng monoton 
> steigend, dann gilt fr alle x e A f'(x)>=0."
> 
> Meine Frage wre, ob diese Definition fr abschnittsweise definierte 
> Funktionen gilt.


Natrlich. Sonst wre der Satz falsch.


> Denn wenn die angelegte Tangente die Steigung Null hat, 
> gibt es meines Wissens nach zwei Mglichkeiten: entweder, alle aufeinander 
> folgenden Stellen haben denselben Funktionswert, also z.B. geraden mit m=0 
> (deshalb die Frage nach den abschnittsweise definierten Funktionen) oder, es 
> liegt ein Sattelpunkt vor (das ist bei nicht abschnittsweise definierten 
> funtionen wie f(x)=x^3 der Fall).


Das ist ungefhr richtig (wenn f'(x)>=0 auf D_f gilt). Aber was ist das
Problem? Das widerspricht dem Satz nicht.
-- 
jb

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Hallo nochmals!

Ich schreibe mal den _ganzen_ Monotoniesatz (fr streng monoton steigend):
"1. Ist eine differenzierbare Funtion f auf einem Intervall A streng monoton 
steigend, dann gilt fr alle x e A f'(x)>=0.
2. Ist eine Funktion f auf einem Intervall differenzierbar und gilt fr alle 
x e A f'(x) > 0 (!), dann ist die Funktion f auf A streng monoton steigend."

Mein Problem ist jetzt, dass ich dieses >= aus 1. nicht nachvollziehen kann. 
Wie Du gesagt hast, wre wrde fr <=0 gelten, dass f'(x)>=0 ist. Diese 
Funktion ist aber nicht s.m.s.


> Der Satz oben ist eine Aussage "Wenn a, dann b". Wenn b erfllt ist, muss 
> a nicht unbedingt stimmen.


Was meinst du damit? Wie hngen die Aussagen 1. und 2. zusammen?

Gru
Alexander

Alexander Erlich wrote:

> Hallo nochmals!
>
> Ich schreibe mal den _ganzen_ Monotoniesatz (fr streng monoton steigend):
> "1. Ist eine differenzierbare Funtion f auf einem Intervall A streng monoton 
> steigend, dann gilt fr alle x e A f'(x)>=0.
> 2. Ist eine Funktion f auf einem Intervall differenzierbar und gilt fr alle 
> x e A f'(x) > 0 (!), dann ist die Funktion f auf A streng monoton steigend."
>
> Mein Problem ist jetzt, dass ich dieses >= aus 1. nicht nachvollziehen kann. 


Fragst du dich, warum dort nicht '>' steht?

f: [-a,a] --> R, f(x) = x^3 ist streng monoton wachsend mit f'(0) = 0.

> Ich schreibe mal den _ganzen_ Monotoniesatz (fr streng monoton steigend):
> "1. Ist eine differenzierbare Funtion f auf einem Intervall A streng 
> monoton steigend, dann gilt fr alle x e A f'(x)>=0.
> 2. Ist eine Funktion f auf einem Intervall differenzierbar und gilt fr 
> alle x e A f'(x) > 0 (!), dann ist die Funktion f auf A streng monoton 
> steigend."
>
> Mein Problem ist jetzt, dass ich dieses >= aus 1. nicht nachvollziehen 
> kann. Wie Du gesagt hast, wre wrde fr <=0 gelten, dass f'(x)>=0 ist. 
> Diese Funktion ist aber nicht s.m.s.


Richtig, das widerspricht ja auch 1.) nicht.
Das meine ich mit "Wenn a, dann b": Falls die Voraussetzungen erfllt sind 
(f diffbar, s.ms.), dann ist auch f'(x)>=0. Da die Funktion y=0 nicht die 
Voraussetzung erfllt, macht der Satz auch keine Aussage ber diese 
Funktion.


> Wie hngen die Aussagen 1. und 2. zusammen?


Also, wenn man den Satz arg zusammenfasst, haben wir fr diffbares f:

f'(x) > 0 => f s.m.s => f'(x) >=0

Es gilt aber keine Umkehrung, denn
a) Streng monotone Funktionen mssen nicht berall Ableitung >0 haben 
(Gegenbeispiel im Posting von Christian)
b) f'(x) >= 0 heisst nicht automatisch strenge Monotonie (Gegenbeispiel y=0)

Hoffe, das hat geholfen

Michael

Hallo!

Danke, ich glaube, ich habe es jetzt verstanden!

Gru
Alexander